Question

9．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2$\sqrt{10}$，CE：EB=1：4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2$\sqrt{10}$）²=x²+（3x）²求得答案．

解答 （1）证明：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．

（2）解：如图，连接AE，
∴∠AEB=90°，
设CE=x，
∵CE：EB=1：4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，
在Rt△ACE中，AC²=CE²+AE²，
即（2$\sqrt{10}$）²=x²+（3x）²，
∴x=2．
∴CE=2．

点评 本题主要考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答此题关键．