Question

12．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
（1）当PC=CE时，求∠CDP的度数；
（2）试用等式表示线段PB、BC、CE之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△BCP≌△DCP，得出BP=DP，∠CBP=∠CDP，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠CBP=∠PEB=∠CPE═22.5°，即可得出结果；
（2）证明P、C、E、D四点共圆，由圆周角定理得出∠DPE=∠DCE=90°，由勾股定理得出DE²=CD²+CE²，DE²=PD²+PE²，即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=∠DCE=90°，
∴∠PCE=45°+90°=135°，
在△BCP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCP=∠DCP}&{\;}\\{CP=CP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴BP=DP，∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，PC=CE，
∴PD=PE，∠CBP=∠PEB=∠CPE=$\frac{1}{2}$（180°-135°）=22.5°，
∴∠CDP=22.5°；
（2）BC²+CE²=2PB²，理由如下：
连接DE，如图所示：
由（1）得：∠CBP=∠CDP，PD=PE，
∵PB=PE，
∴∠CBP=∠PEB，
∴∠CDP=∠PEB，
∴P、C、E、D四点共圆，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
由勾股定理得：DE²=CD²+CE²，DE²=PD²+PE²，
∵BC=CD，PB=PD=PE，
∴BC²+CE²=2PB²．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识；熟记正方形的性质，证明四点共圆得出，∴∠DPE=∠DCE=90°是解决问题（2）的关键．