Question

3．△ABC中，AB=AC，点D在BC上，E在AB上，BD=DE，连接AD，点P，M，N分别是AD，BE，BC的中点，连接DM，AN．
（1）如图1，若∠BAC=90°，则∠PMN=45°；
（2）如图2，若∠BAC=60°，则∠PMN=60°；
（3）如图3，若∠BAC=α，则∠PMN=90°-$\frac{1}{2}α$，请证明．

Answer 1

分析 连接PN，首先根据等腰三角形的性质可得DM⊥BE，进而可得△AMD是直角三角形，再根据直角三角形的性质可得PM=PA=$\frac{1}{2}$AD，再根据AB=AC，N是BC中点可得△ADN是直角三角形，进而可得PN=PA=$\frac{1}{2}$AD，可证明点P是△AMN的外心，则∠PMN=∠PNM=$\frac{1}{2}$（180°-2∠MAN）=90°-∠MAN=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，然后再把（1）（2）（3）中∠BAC的度数分别代入即可．

解答 解：连接PN，
∵BD=DE，M是BE的中点，
∴DM⊥BE，
∴△AMD是直角三角形，
∵P是AD的中点，
∴PM=PA=$\frac{1}{2}$AD，
∵AB=AC，N是BC中点，
∴AN⊥BC，
∴△ADN是直角三角形，
∴PN=PA=$\frac{1}{2}$AD，
∴PA=PM=PN，
∴点P是△AMN的外心，
∴∠PMN=∠PNM=$\frac{1}{2}$（180°-2∠MAN）=90°-∠MAN=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
（1）∵∠BAC=90°，
∴∠PMN=90°-$\frac{1}{2}×90°$=45°；

（2）∵∠BAC=60°，
∴∠PMN=90°-$\frac{1}{2}×$60°=60°；

（3）∵∠BAC=α，
∴∠PMN=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．