【题目】如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E为OC上动点(与点O不重合),作AF⊥BE,垂足为G,交BC于F,交B0于H,连接OG,CC.
(1)求证:AH=BE;
(2)试探究:∠AGO的度数是否为定值?请说明理由;
(3)若OG⊥CG,BG=,求△OGC的面积.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】分析:(1)通过证明△AOH ≌ △BOE得到结论;
(2)易证△AOH∽△BGH得,由∠OHG =∠AHB可得△OHG∽△AHB,从而∠AGO=∠ABO=45°,从而可得结论;
(3)易证△ABG ∽△BFG得,故AG·GF=BG 2 =5.再证明△AGO ∽△CGF.可得GO·CG =AG·GF=5.故S△OGC =
CG·GO=
.
详解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,∠AOB=∠BOE=90°
∵AF⊥BE,
∴∠GAE+∠AEG=∠OBE+∠AEG=90°.
∴∠ GAE =∠OBE .
∴△AOH ≌ △BOE.
∴AH=BE .
(2)∵∠AOH=∠BGH=90°, ∠AHO=∠BHG,
∴△AOH∽△BGH.
∴.
∴.
∵∠OHG =∠AHB.
∴△OHG∽△AHB.
∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度数为定值.
(3)∵∠ABC=90°,AF⊥BE,
∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,
∴△ABG ∽△BFG.
∴,
∴AG·GF=BG 2 =5.
∵△AHB∽△OHG,
∴∠BAH=∠GOH=∠GBF.
∵∠AOB=∠BGF=90°,
∴∠AOG=∠GFC.
∵∠AGO=45°,CG⊥GO,
∴∠AGO=∠FGC=45°.
∴△AGO ∽△CGF.
∴,
∴GO·CG =AG·GF=5.
∴S△OGC =CG·GO=
.
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【题目】如图所示,某公司有三个住宅区可看作一点,A,B,C各区分别住有职工30人、15人、10人,且这三个住宅区在一条大道上(A,B,C三点共线),已知AB=100米,BC=200米.为了方便职工上下班,该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在( )
A. 点A B. 点B
C. A,B之间 D. B,C之间
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【题目】某景区售票处规定:非节假日的票价打a折售票;节假日根据团队人数x(人)实行分段售票:若10,则按原展价购买;若x>10,则其中10人按原票价购买,超过部分的按原那价打b折购买.某旅行社带团到该景区游览,设在非节假日的购票款为y1元,在节假日的购票款为y2元,y1、y2与x之间的函数图象如图所示.
(1)观察图象可知:a=________,b=________;
(2)当x>10时,求y2与x之间的函数表达式;
(3)该旅行社在今年5月1目带甲团与5月10日(非节假日)带乙国到该景区游览,两团合计50人,共付门票款3120元,已知甲团人数超过10人,求甲团人数与乙团人数.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12cm,BC=15cm,∠B=90°,DC=5cm.点P从点A向点D以lcm/s的速度运动,到D点停止,点Q从点C向B点以2cm/s的速度运动,到B点停止,点P,Q同时出发,设运动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示:AP= ;BQ= .
(2)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形?
(3)当t为何值时,△QCD是直角三角形?
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【题目】某商场欲购进果汁饮料和碳酸饮料共60箱,两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进果汁饮料x箱(x为正整数),且所购进的两种饮料能全部卖出,获得的总利润为W元(注:总利润=总售价-总进价)。
(1)设商场购进碳酸饮料y箱,直接写出y与x的函数解析式;
(2)求总利润w关于x的函数解析式;
(3)如果购进两种饮料的总费用不超过2100元,那么该商场如何进货才能获利最多?并求出最大利润。
饮料 | 果汁饮料 | 碳酸饮料 |
进价(元/箱) | 40 | 25 |
售价(元/箱) | 52 | 32 |
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【题目】已知:矩形ABCD中,AB=10,AD=8,点E是BC边上一个动点,将△ABE沿AE折叠得到△AB′E。
(1)如图(1),点G和点H分别是AD和AB′的中点,若点B′在边DC上。
①求GH的长;
②求证:△AGH≌△B′CE;
(2)如图(2),若点F是AE的中点,连接B′F,B′F∥AD,交DC于I。
①求证:四边形BEB′F是菱形;
②求B′F的长。
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌
即可得
,则可证得
为
的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得
的长,又由OE∥AB,证得
根据相似三角形的对应边成比例,即可求得
的长,然后利用三角函数的知识,求得
与
的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
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【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
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【题目】如图所示,正方形ABCD中,点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点,连接EP、FG.
(1)如图1,直接写出EF与FG的关系____________;
(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点,连接FP,将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转90°,得到线段FH,连接EH.
①求证:△FFE≌△PFG;②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系;
(3)如图3,若点P为CB延长线上的一动点,连接FP,按照(2)中的做法,在图(3)中补全图形,并直接写出EF、EH、BP三者之间的关系.
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