Question

6．如图，已知A、B两点的坐标分别为（-4，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（0，-2），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是$\frac{44}{3}$．

Answer 1

分析 当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．设EF=x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，进而求得BE，然后求得△ABE的面积．

解答 解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
如图，连接AC．
∵A点的坐标为（-4，0），⊙C的圆心坐标为（0，-2），半径为2．
∴AO=4，OC=2，即OC为⊙C的半径，则AO与⊙C相切．
∵AO、AD是⊙C的两条切线，
∴AD=AO=4．
连接CD，设EF=x，
∴DE²=EF•OE，
∵CF=2，
∴DE=$\sqrt{x（4+x）}$．
易证△CDE∽△AOE，则$\frac{CD}{AO}$=$\frac{CE}{AE}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{2+x}{4+\sqrt{x（4+x）}}$，
解得x=$\frac{4}{3}$或x=0（不合题意，舍去），
∴EF=$\frac{4}{3}$，
∴BE=2+4+$\frac{4}{3}$=$\frac{22}{3}$
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$BE•OA=$\frac{1}{2}$×$\frac{22}{3}$×4=$\frac{44}{3}$．
故答案为$\frac{44}{3}$．

点评 题是一个动点问题，考查了圆的综合题，解题时，涉及到了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．