Question

1．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AC边上的一点，且ED⊥FD．
（1）求证：ED=FD；
（2）求证：EC²+AE²=2ED²．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质得出CD=AD=BD，∠A=∠B=45°，∠ECD=∠FCD=45°，CD⊥AB，∠EDF=90°，求出∠A=∠FCD，∠CDA=∠EDF=90°，∠ADE=∠CDF，根据ASA推出△ADE≌△CDF即可；
（2）根据全等求出AE=CF，求出△BDF≌△CDE，根据全等三角形的性质得出BF=CE，根据勾股定理求出即可．

解答 证明：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，ED⊥FD，
∴CD=AD=BD，∠A=∠B=45°，∠ECD=∠FCD=45°，CD⊥AB，∠EDF=90°，
∴∠A=∠FCD，∠CDA=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF=90°-∠EDC，
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FCD}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴ED=FD；

（2）∵△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，ED⊥FD，
∴CD=AD=BD，∠A=∠B=45°，∠ECD=∠FCD=45°，CD⊥AB，∠EDF=90°，
∴∠B=∠ECD，∠CDB=∠EDF=90°，
∴∠BDF=∠CDE=90°-∠CDF，
在△BDF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECD}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDE（ASA），
∴BF=CE，
∵在Rt△ECF和Rt△EDF中，由勾股定理得：EC²+CF²=EF²，DE²+DF²=EF²，
又∵CF=AE，DE=DF，
∴EC²+AE²=2ED²．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．