Question

已知关于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的两根x₁，x₂且满足x₁•x₂-3x₁-3x₂-2=0，求（1+

4

a2-4

）•

a+2

a

的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,分式的化简求值

专题：计算题

分析：先利用判别式的意义得到a≥-1，再根据根与系数的关系得x₁+x₂=-2（a-1），x₁x₂=a²-7a-4，利用已知条件得到a²-7a-4+6（a-1）-2=0，解得a₁=4，a₂=-3，所以a=4，然后把分式进行化简后把a=4代入计算即可．

解答：解：根据题意得△=4（a-1）²-4（a²-7a-4）≥0，解得a≥-1，
∵x₁+x₂=-2（a-1），x₁x₂=a²-7a-4，
∵x₁•x₂-3x₁-3x₂-2=0，
∴x₁•x₂-3（x₁+x₂）-2=0，
∴a²-7a-4+6（a-1）-2=0，
整理得a²-a-12=0，解得a₁=4，a₂=-3，
∴a=4，
原式=

a2-4+4

(a+2)(a-2)

•

a+2

a

=

a

a-2

，
当a=4时，原式=

4

4-2

=2．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了分式的化简求值．