[题目]如图.已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4.0)和点D(-1.0).与y轴交于点C.过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B.连接AC(1)求这个二次函数的表达式,(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动,点N从点B同时出发.以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时.另一个动点也随之停动.过点N作NQ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（4，0）和点D（-1，0），与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ
①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；
②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y=-x2+3x+4；（2）①S＝(t)2+（0≤t≤2）．当t=时，S最大值=；②存在点M，（1，0）和（2，0）．

【解析】

（1）由待定系数法将AD两点代入即可求解．
（2）①分别用t表示出AM、PQ，由三角形面积公式直接写出含有t的二次函数关系式，由二次函数的最大值可得答案；
②分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出t，求得M坐标．

（1）∵二次函数的图象经过A（4，0）和点D（-1，0），
∴ ，
解得，
所以，二次函数的解析式为y=-x2+3x+4．
（2）①延长NQ交x轴于点P，

∵BC平行于x轴，C（0，4）
∴B（3，4），NP⊥OA．
根据题意，经过t秒时，NB=t，OM=2t，
则CN=3-t，AM=4-2t．
∵∠BCA=∠MAQ=45°，
∴QN=CN=3-t，
∴PQ=NP-NQ=4-（3-t）=1+t，
∴S△AQM＝AM×PQ＝ (42t)(1+t)
=-t2+t+2．
∴S＝t2+t+2＝(t)2+．
∵a=-1＜0，且0≤t≤2，

∴S有最大值．
当t=时，S最大值=．
②存在点M，使得△AQM为直角三角形．
设经过t秒时，NB=t，OM=2t，
则CN=3-t，AM=4-2t，
∵∠BCA=∠MAQ=45°．
Ⅰ．若∠AQM=90°，
则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高．
∴PQ是底边MA的中线，
∴PQ=AP=MA，
∴1+t=（4-2t），
解得，t=，
∴M的坐标为（1，0）．
Ⅱ．若∠QMA=90°，此时QM与QP重合．
∴QM=QP=MA，
∴1+t=4-2t，
∴t=1，
∴点M的坐标为（2，0）．
所以，使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为（1，0）和（2，0）．

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类别	时间t（小时）	人数
A	t＜0.5	40
B	0.5≤t＜1	80
C	1≤t＜1.5	60
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