Question

10．如图，正△ABC的边长为6，点D是BC边上一点，连结AD，将AD绕点A顺时针旋转60°得AE，连结DE交AB于点F．
（1）填空：若∠BAD=20°，则∠BDF=40°；
（2）若当点D在线段BC上运动时（不与B、C两点重合），设BD=x，BF=y，
试求y与x之间的函数关系式；
（3）若$\frac{BD}{DC}$=$\frac{1}{2}$，请求出AE的长．

Answer 1

分析 （1）先证△AED是等边三角形，从而∠BDF=∠EAF；
（2）证明△BDF∽△CAD，列出相似比例关系即可；
（3）过点D作DG⊥AC于G，求出DG、AG，就可求出AD，而AD=AE．

解答 解：（1）∵AE=AD，∠DAE=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠AED=∠ADE=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BDF=∠EAF，
∵∠BAD=20°，
∴∠EAF=40°，
∴∠BDF=40°；
（2）∵∠EDA=60°，
∴∠BDF+∠ADC=120°，
∵∠ACB=60°，
∴∠ADC+∠DAC=120°，
∴∠BDF=∠DAC，
∴△BDF∽△CAD，
∴$\frac{BF}{BD}=\frac{CD}{AC}$，
∵BF=y，BD=x，AB=BC=AC=6，
∴$\frac{y}{x}=\frac{6-x}{6}$，
∴$y=-\frac{1}{6}{x}^{2}+x$；
（3）过点D作DG⊥AC于G，如图，

∵BC=6，$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴BD=2，CD=4，
∵∠ACB=60°，
∴CG=2，DG=2$\sqrt{3}$，
∴AG=4，
∴AD=$2\sqrt{7}$，
∵△AED是等边三角形，
∴AE=AD=$2\sqrt{7}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数、勾股定理等知识点，难度中等．第（1）问的关键是转移角度；知道“一线三等角相似模型”是迅速解决第（2）问的关键；对于线段长度的求法，往往构造直角三角形，利用勾股定理解决．