Question

【题目】如图1，把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在E处，BE交AD于点F.

（1）求证：FB=FD;

（2）如图2，连接AE，求证：AE∥BD;

（3）如图3，延长BA，DE相交于点G，连接GF并延长交BD于点H，求证：GH垂直平分BD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】

试题(1)根据矩形的性质和折叠的性质可得：AB＝DC=DE，∠BAD＝∠BCD＝∠BED=90°，根据AAS可证△ABF≌△EDF，根据全等三角形的性质可证BF=DF；

(2)根据全等三角形的性质可证：FA=FE，根据等边对等角可得：∠FAE=∠FEA，根据三角形内角和定理可证：2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，所以可证∠AEF=∠FBD，根据内错角相等，两直线平行可证AE∥BD；

(3)根据矩形的性质可证：AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，根据SSS可证：△ABD≌△EDB，根据全等三角形的性质可证：∠ABD=∠EDB，根据等角对等边可证：GB=GD，根据HL可证：△AFG≌△EFG，根据全等三角形的性质可证：∠AGF=∠EGF，所以GH垂直平分BD.

试题解析：（1）∵长方形ABCD，

∴AB＝DC=DE，∠BAD＝∠BCD＝∠BED=90°，

在△ABF和△DEF中，

∴△ABF≌△EDF（AAS），

∴BF=DF.

（2）∵△ABF≌△EDF，

∴FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，

∴∠AEF=∠FBD，

∴AE∥BD，

（3）∵长方形ABCD，

∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，

∴△ABD≌△EDB（SSS），

∴∠ABD=∠EDB，

∴GB=GD，

在△AFG和△EFG中，

∠GAF＝∠GEF=90°，

FA=FE，

FG＝FG，

∴△AFG≌△EFG（HL），

∴∠AGF=∠EGF，

∴GH垂直平分BD.

【方法II】

（1）∵△BCD≌△BED，

∴∠DBC＝∠EBD

又∵长方形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠EBD＝∠ADB，

∴FB=FD.

（2）∵长方形ABCD，

∴AD=BC=BE，

又∵FB=FD，

∴FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

又∵∠AFE=∠BFD，且2∠AEF ＋∠AFE =2∠FBD＋∠BFD =180°，

∴∠AEF=∠FBD，

∴AE∥BD，

（3）∵长方形ABCD，

∴AD=BC=BE，AB=CD=DE，BD=DB，

∴△ABD≌△EDB，

∴∠ABD=∠EDB，

∴GB=GD，

又∵FB=FD，

∴GF是BD的垂直平分线，

即GH垂直平分BD.