Question

5．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，连接AC．
（1）当点B在y轴的正半轴上时，在图1中画出△ABC并求点C的坐标（用含b的式子表示）；
（2）画图探究：当点B在y轴上运动且满足-2≤b≤5时，相应的点C的运动路径形成什么图形．
①在图2中画出该图形；
②描述该图形的特征；
③利用图3简要证明以上结论．

Answer 1

分析 （1）如图，作CD⊥y轴于D．先证明△ABO≌△BCD，推出BO=CD=b，OA=BD=4，推出OD=4+b，由此即可解决问题．
（2）①因为C（-b，4+b），所以点C在直线y=x+4上，图中的线段C₁C₂即为点C的运动轨迹．
②点C的运动轨迹是线段C₁C₂，线段的两个端点的坐标C₂（-5，9），C₁（2，2）．
③先求出∠DGC=45°，进而得出C₁，C₂的坐标即可．

解答 解：（1）如图1，作CD⊥y轴于点D．

由题意可得AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠DBC+∠OBA=90°．
∵∠AOB=∠BDC=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°．
∴∠OAB=∠DBC．
∴△OAB≌△DBC．
∴OB=DC，OA=DB．
∵点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，b），点B在y轴的正半轴上，
∴OA=4，OB=b．
∴OD=OB+BD=b+4，CD=OB=b．
由题意知点C在第二象限，
∴点C的坐标为（-b，b+4）．
（2）①画图如图2．

②线段C₁C₂，其中C₁，C₂两点的坐标分别为C₁（2，2），C₂（-5，9），
线段C₁C₂所在直线与y轴所夹的锐角为45°．
③简要证明过程：如图3，

设点G的坐标为G（0，4），点H的坐标为H（4，0），可
得∠OGH=45°．
任取满足题意的点B（0，b）（其中-2≤b≤5），作出相应的线段BC和线段AC，作CD⊥y轴于点D．
由点G（0，4）可得OG=4=OA．
同（1）可得OB=CD，AO=BD．
所以 CD=OB=OD-BD=OD-OA=OD-OG=DG．
由CD⊥y轴于点D可得∠DGC=45°．
所以无论点B在y轴上如何运动，相应的点C在运动时总落在直线GH上．
而点B在y轴上运动满足-2≤b≤5时，
此时点C运动的路径是这条直线上的一部分，是线段C₁C₃（见图2），
其中与点B₁（0，-2）对应的端点为C₁（2，2）；与点B₂（0，5）对应的端点为C₂（-5，9）．

点评 本题考查作图旋转变换、轨迹、一次函数等知识，解题的关键是发现点C的坐标满足直线y=x+4，由此判断出点C的运动轨迹是线段，本题比较难，属于中考常考题型．