Question

17．如图，在四边形ABCD中，△ABC是等边三角形，∠ADC=∠ABC，若AD=3，BC=7，则线段BD的长为$\sqrt{97}$．

Answer 1

分析 先延长DA，作∠ABH=∠CAD，交DA的延长线于H，过B作BF⊥AH于F，根据△ACD≌△BAN，得出∠H=∠ADC=60°，BH=AD=3，由勾股定理可得，AF=$\frac{13}{2}$，进而得到DF的长，最后在Rt△BDF中，根据勾股定理求得BD的长．

解答 解：延长DA，作∠ABH=∠CAD，交DA的延长线于H，过B作BF⊥AH于F，
根据∠ADC=∠BAC=60°，可得∠ACD=∠BAH，
又∵AC=BA，∠CAD=∠ABH，
∴△ACD≌△BAN，
∴∠H=∠ADC=60°，BH=AD=3，
∴Rt△BFH中，FH=$\frac{3}{2}$，BF=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
又∵AB=BC=7，
∴由勾股定理可得，AF=$\frac{13}{2}$，
∴DF=AD+AF=3+$\frac{13}{2}$=$\frac{19}{2}$，
∴Rt△BDF中，BD=$\sqrt{D{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{19}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{97}$．
故答案为：$\sqrt{97}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．