Question

已知：在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． 
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，发现
①△

 

≌△

 

，
②∠BCE=

 

度；
（2）设∠BAC=x，∠BCE=y．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则x，y之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则x，y之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）①问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；
②问是第（1）问和第①问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．

解答：解：（1）当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，发现
①△ABD≌△ACE，
②∠BCE=90度；
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；

（2）①x+y=180°，
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．
即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=y，
∵x+∠B+∠ACB=180°，
∴x+y=180°；

②当点D在射线BC上时，x+y=180°；

理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，
∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，
∴x+y=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，x=y．

理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即x=y．

点评：本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．本题的亮点是由特例引出一般情况．