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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正比例函数与反比例函数的图象分别交于AC两点,已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称,且点B的坐标为其中

四边形ABCD的是______填写四边形ABCD的形状

当点A的坐标为时,四边形ABCD是矩形,求mn的值.

试探究:随着km的变化,四边形ABCD能不能成为菱形?若能,请直接写出k的值;若不能,请说明理由.

【答案】(1)平行四边形;(2),(3)四边形ABCD不可能成为菱形,理由见解析.

【解析】

(1)根据正、反比例函数的对称性即可得出点A、C关于原点O成中心对称,再结合点B与点D关于坐标原点O成中心对称,即可得出对角线BD、AC互相平分,由此即可证出四边形ABCD的是平行四边形;

(2)由点A的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出n值,进而得出点A的坐标以及OA的长度,再根据矩形的性质即可得出OB=OA,由点B的坐标即可求出m值;

(3)由点A在第一象限内,点Bx轴正半轴上,可得出∠AOB<90°,而菱形的对角线互相垂直平分,由此即可得知四边形ABCD不可能成为菱形.

正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点,

A、C关于原点O成中心对称,

B与点D关于坐标原点O成中心对称,

对角线BD、AC互相平分,

四边形ABCD的是平行四边形,

故答案为:平行四边形.

在反比例函数的图象上,

,解得:

四边形ABCD为矩形,

四边形ABCD不可能成为菱形,理由如下:

A在第一象限内,点Bx轴正半轴上,

BD不可能互相垂直,

四边形ABCD不可能成为菱形.

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