【题目】已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动的时间为t秒,
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值:
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
(本题可根据需要,自己画图并解答)
【答案】(1)当t=2s或s时,△ABP为直角三角形.(2)当△ABP为等腰三角形时,t=2.5s或4s或s.
【解析】
(1)首先根据勾股定理求出BC的长度,再分两种情况:①当∠APB为直角时,②当∠BAP为直角时,分别求出此时的t值即可.
(2)当△ABP为等腰三角形时,分三种情况:①当AB=BP时;②当AB=AP时;③当BP=AP时,分别求出BP的长度,继而可求得t值.
(1)∵∠C=90°,AB=5cm,AC=3cm,
∴BC=4 cm.
①当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4 cm,
∴t=4÷2=2s.
②当∠BAP为直角时,BP=2tcm,CP=(2t﹣4)cm,AC=3 cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(2t﹣4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
∴52+[32+(2t﹣4)2]=(2t)2,
解得t=s.
综上,当t=2s或s时,△ABP为直角三角形.
(2)①当BP=BA=5时,∴t=2.5s.
②当AB=AP时,BP=2BC=8cm,∴t=4s.
③当PB=PA时,PB=PA=2t cm,CP=(4﹣2t)cm,AC=3 cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,
∴(2t)2=32+(4﹣2t)2,解得t=s.
综上,当△ABP为等腰三角形时,t=2.5s或4s或s
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【题目】在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕着点B顺时针旋转角a(0°<a<90°)得到△A1BC;A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段BE与BF有怎样的数量关系?并证明你的结论.
(2)如图2,当a=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并证明.
(3)在(2)的条件下,求线段DE的长度.
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【题目】如图,ABC是等边三角形,点D是线段AC上的一动点,E在BC的延长线上,且BD=DE.
(1)如图,若点D为线段AC的中点,求证:AD=CE;
(2)如图,若点D为线段AC上任意一点,求证:AD=CE.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,函数y=(k>0)的图象经过点A(1,2)、B两点,过点A作x轴的垂线,垂足为C,连接AB、BC.若三角形ABC的面积为3,则点B的坐标为___________.
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【题目】如图所示,已知 AD 是△ABC 的边 BC 上的中线.
(1)作出△ABD 的边 BD 上的高.
(2)若△ABC 的面积为 10,求△ADC 的面积.
(3)若△ABD 的面积为 6,且 BD 边上的高为 3,求 BC 的长.
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【题目】如图所示,一架梯子AB斜靠在墙面上,且AB的长为2.5米.
(1)若梯子底端离墙角的距离OB为0.7米,求这个梯子的顶端A距地面有多高?
(2)在(1)的条件下,如果梯子的顶端A下滑0.4米到点A′,那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB′为多少米?
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【题目】4张相同的卡片上分别写有数字2,3,4,5将卡片的背面向上,洗匀后从中任意抽取1 张,将卡片上的数字作为被减数;一只不透明的袋子中装有标号2,3,4的3个小球,这些球除标号外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,将摸到的球的标号作为减数.
(1)用树状图或列表的方法求这两个数的差为0的概率;
(2)如果游戏规则规定:当抽到的这两个数的差为非负数时,则甲获胜;否则,乙获胜,你认为这样的规则公平吗?如果不公平,请说明理由.
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【题目】给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;
(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.
①求证:△BCE是等边三角形;
②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.
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