Question

17．如图，点P为正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B，D重合），过点P作PE⊥AP交射线CD于点E，过点E作EF⊥PE交AP的垂线AF于点F．
（1）求证：四边形APEF是正方形；
（2）探索线段PB，PD，AE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AB=2，求点F移动路线的长．

Answer 1

分析 （1）根据PE⊥AP，EF⊥PE，PA⊥AF，证明四边形APEF是矩形，根据P、A、D、E四点共圆，得到∠PAE=∠PEA，求出PA=PE，得到答案；
（2）证明△BAP≌△DAF和AE=PF，得到答案；
（3）根据当P与B重合时，F与D重合，当P与D重合时，F与B关于AD对称，求出BD的长，得到答案．

解答 解：（1）∵PE⊥AP，EF⊥PE，PA⊥AF，
∴∠APE=∠PEF=∠PAF=90°，
∴四边形APEF是矩形，
∠APE+∠ADE=180°，
∴P、A、D、E四点共圆，
∴∠PAE=∠PDE=45°，∠PEA=∠PDA=45°，
∴∠PAE=∠PEA，
∴PA=PE，
∴四边形APEF是正方形；
（2）如图，连接PF、DF，
∵∠BAD=90°，∠PAF=90°，
∴∠BAP=∠DAF，
在△BAP和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAP=∠DAF}\\{AP=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DAF，
∴BP=DF，∠ADF=∠ABP，
∴∠PDF=90°，
∴PD²+DF²=PF²，
又AE=PF，
则PD²+PB²=AE²；
（3）由（2）得，∠PDF=90°，
∴PD⊥DF，
当P与B重合时，F与D重合，
当P与D重合时，F与B关于AD对称，即DF=BD，
∵AB=2，
∴BD=2$\sqrt{2}$，
∴点F移动路线的长为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定，灵活运用性质和判定定理是解题的关键，注意四点共圆的性质的正确运用．