Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB于点D，CD=4，AD=8．点E为

AC

的中点，延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：CA=CF．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接OC，根据勾引股定理求出r的值即可；
（2）连接BE，先根据圆周角定理得出∠AEB=90°，再根据两角互余的性质得出∠B=∠F，根据点E为

AC

的中点得出

AE

=

CE

，故∠CAE=∠B，∠CAE=∠F，由此可得出结论．

解答：解：（1）连接OC，
∵AD=8，
∴OD=8-r．
∵CD⊥AB，
∴根据勾股定理得出：OD²+CD²=OC²，则（8-r）²+4²=r²，解的r=5；

（2）连接BE，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠B+∠BAE=90°．
又∵∠F+∠BAE=90°，
∴∠B=∠F．
∵点E为

AC

的中点，
∴

AE

=

CE

，
∴∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠F，
∴AC=CF．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．