Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两坐标轴的正半轴交于点E、F．
（1）当EF⊥OA时，此时EF=

 

；
（2）求动圆D的半径r的取值范围．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接AE、OD，作AB⊥x轴于B，OA与EF垂直于C，如图1，利用两点的距离公式计算出OA=5，根据圆周角定理得到EF为⊙D的直径，再根据垂径定理由EF⊥OA得到弧EO=弧EA，则CO=AC=

1

2

OA=

5

2

，EO=EA，设OE=t，则AE=t，BE=4-t，在Rt△ABE中根据勾股定理得3²+（4-t）²=t²，解得t=

25

8

，在Rt△OEC中，可计算出CE=

15

8

，在Rt△OCD中，设⊙D的半径为r，则OD=r，CD=r-

15

8

，利用勾股定理得（r-

15

8

）²+（

5

2

）²=r²，解得r=

125

48

，于是得到EF=2r=

125

24

；
（2）由于点D经过点A、O．所以OA为直径时，动圆D的半径r最小，此时r=

1

2

OA=

5

2

；当⊙D与x轴切于点O时，动圆D的半径r最大，如图2，作AH⊥OE，根据切线的性质得EF为⊙D的直径，则∠FAO=90°，再证明Rt△OAH∽Rt△OFA，利用相似比可计算出OF=

25

3

，即此时r=

25

6

，于是得到动圆D的半径r的取值范围为

5

2

≤r≤

25

6

．

解答：解：（1）连接AE、OD，作AB⊥x轴于B，OA与EF垂直于C，如图1，
∵A（4，3），
∴OA=

42+32

=5，
∵∠EOF=90°，
∴EF为⊙D的直径，
∵EF⊥OA，
∴弧EO=弧EA，CO=AC=

1

2

OA=

5

2

，
∴EO=EA，
设OE=t，则AE=t，BE=4-t，
在Rt△ABE中，AB=3，
∵AB²+BE²=AE²，
∴3²+（4-t）²=t²，解得t=

25

8

，
在Rt△OEC中，CE=

OE2-OC2

=

( 25 8 )2-( 5 2 )2

=

15

8

，
在Rt△OCD中，设⊙D的半径为r，则OD=r，CD=r-

15

8

，
∵DC²+OC²=OD²，
∴（r-

15

8

）²+（

5

2

）²=r²，解得r=

125

48

，
∴EF=2r=

125

24

；
故答案为

125

24

；
（2）当OA为直径时，动圆D的半径r最小，此时r=

1

2

OA=

5

2

，
当⊙D与x轴切于点O时，动圆D的半径r最大，如图2，作AH⊥OE，
∵⊙D与x轴相切，
∴EF为⊙D的直径，
∴∠FAO=90°，
∵∠AOH=∠FOA，
∴Rt△OAH∽Rt△OFA，
∴AO：OF=OH：AO，即5：OF=3：5，
∴OF=

25

3

，此时r=

25

6

，
∴动圆D的半径r的取值范围为

5

2

≤r≤

25

6

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和垂径定理；会应用勾股定理和相似比进行几何计算．