Question

【题目】二次函数y=x2-x+6的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C.

(1)求A,B,C三点的坐标;

(2)如果P(x,y)是线段BC上的动点,O为坐标原点,试求△POA的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)在(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得PO=PA?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）A(4,0),B(6,0),C(0,6).（2）S△POA=×4×(-x+6)=-2x+12,x的取值范围是0≤x<6.（3）存在这样的点P(2,4),使得OP=AP.

【解析】

（1）由图像与x轴相交是，y=0，可求出x的值，即可求出A点、B点的坐标，与y轴相交时x=0可求出y的值，即可得C点坐标；（2）根据B、C坐标可求出直线BC的一次函数解析式，根据三角形面积公式列出解析式即可；（3）由OP=AP可知P在OA的垂直平分线上，即可求出P点的横坐标，代入BC的解析式求出P点纵坐标即可判断是否存在.

(1)由题意,在y=x2-x+6中,

令y=0,

0=x2-x+6,

解得x=4或6,

当x=0,y=6,

可得A(4,0),B(6,0),C(0,6).

(2)设直线BC的解析式为y=kx+b,

将B(6,0),C(0,6)代入上式,得

解得

所以y=-x+6,

根据题意得S△POA=×4×y,

所以S△POA=×4×(-x+6)=-2x+12,

x的取值范围是0≤x<6.

(3)若PO=PA,

则点P在线段OA的垂直平分线上,

因为OA=4,

所以P点横坐标为2,代入直线BC解析式得

y=-x+6=-2+6=4,

所以P点坐标为(2,4),

所以存在这样的点P(2,4),使得OP=AP.