Question

【题目】已知点A(t，y1)，B(t+2，y2)在抛物线y＝﹣x2的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最大值______.

Answer 1

【答案】2

【解析】

由点A、B在抛物线上，可用t表示y1、y2，根据两点间距离公式用t表示AB2，发现AB2与t是二次函数的关系，由抛物线性质和自变量t的取值范围可知：t在对称轴上时取得最小值；观察t本身的取值范围，看t＝﹣2和t＝2哪个离对称轴更远，即对应的函数值最大.

解：∵点A(t，y1)，B(t+2，y2)在抛物线y＝﹣x2的图象上，

∴y1＝﹣t2，y2＝﹣(t+2)2＝﹣t2﹣2t﹣2，

∴AB2＝(t+2﹣t)2+(y2﹣y1)2

＝22+(﹣t2﹣2t﹣2+t2)2

＝4+(﹣2t﹣2)2

＝4(t+1)2+4

∴AB2与t是二次函数的关系，由抛物线性质可知：

当t＝﹣1时，AB2取得最小值，AB2＝4，AB＝2

当t＝2时，AB2取得最大值，AB2＝4×(2+1)2+4＝40，AB＝2，

故答案为：2.