Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AB、AC于点F、D，作DE⊥BC于E．有下面三个结论：①BD平分∠ABC;②DE＝DF;③BC+CD＝2AF;其中，正确的结论的个数是（　　）

A.3B.2C.1D.0

Answer 1

【答案】A

【解析】

先根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ABC=∠C=72°，再利用基本作图得到MN垂直平分AB，则DA=DB，所以∠DBA=∠A=36°，于是可对①进行判断；接着根据角平分线的性质可对②进行判断；通过计算出∠BDC=72°得到∠BDC=∠C，则BC=BD=AD，所以BC+CD=AC=AB，然后利用AB=2AF可对③进行判断．

解：∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝72°，

由作法得MN垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴∠DBA＝∠A＝36°，

∴BD平分∠ABC，所以①正确；

∵DF⊥BF，DE⊥BE，

∴DE＝DF，所以②正确；

∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，

∴∠BDC＝∠C，

∴BC＝BD＝AD，

∴BC+CD＝AC＝AB，

∵MN垂直平分AB

∴AB＝2AF，

∴BC+CD＝2AF，所以③正确．

故选：A．