Question

【题目】如图，已知在正方形ABCD外取一点E，连接CE、BE、DE．过点C作CE的垂线交BE于点F．CE=CF=1，DF= ．下列结论：①△BCF≌△DCE；②EB⊥ED；③点D到直线CE的距离为2；④S四边形DECF= + ．其中正确结论的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：在正方形ABCD中，

BC=CD，∠BCD=90°，

∵∠EACF90°，

∴∠BCF=∠DCE，

在△BCF与△DCE中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

故①正确；

∵△BCF≌△DCE，

∴∠CBF=∠CDE，

∴∠DEB=∠BCD=90°，

∴BE⊥ED，

故②正确，

过点D作DM⊥CE，交CE的延长线于点M，

∵∠ECF=90°，

FC=EC=1，

∴∠CEF=45°，

∵∠DEM+∠CEB=90°，

∴∠DEM=∠EDM=45°，

∴EM=DM，

∴由勾股定理可求得：EF= ，

∵DF= ，

∴由勾股定理可求得：DE=2，

∵EF2+BF2=2BF2=BE2，

∴DM=EM= ，故③错误，

∵△BCF≌△ADCE，

∴S△BCF=S△DCE，

∴S△DCE+S△DCF

=S△ECF+S△DEF

=S△AEP+S△PEB

= + ，故④正确，

所以答案是①②④

【考点精析】本题主要考查了正方形的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．