Question

【题目】联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：已知，则点为的准外心（如图）．

如图，为正三角形的高，准外心在高上，且，求的度数．

如图，若为直角三角形，，，，准外心在边上，试探究的长．

Answer 1

【答案】∠APB=90°；（2）PA=或6．

【解析】

（1）利用分类讨论：①若PB=PC，②若PA=PC，③若PA=PB，进而求出即可；
（2）利用分类讨论：①若PB=PA，②若PA=PC，③若PC=PB，进而求出即可．

（1）①若PB=PC，连结PB，则∠PCB=∠PBC．
∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB．
与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC．
②若PA=PC，连结PA，

则∠PCA=∠PAC．
∵CD为等边三角形的高．∴AD=BD，∠PCA=30°，
∴∠PAD=∠PAC=30°，∴PD=DA=AB．
与已知PD=AB矛盾，∴PA≠PC．
③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，
∴∠BPD=45°，
故∠APB=90°；
（2）①若PB=PA，设PA=x，
∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=12，则CP=12-x，
∴x2=（12-x）2+52，
∴解得：x=，即PA=．
②若PA=PC，则PA=6．
③若PC=PB，由图知，

在Rt△PBC中，不可能，
故PA=或6．