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【题目】如图,边长为的正方形的对角线交于点,把边分别绕点同时逆时针旋转得四边形,其对角线交点为,连接.下列结论:

四边形为菱形;

线段的长为

运动到点的路径是线段.其中正确的结论共有(

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

①根据旋转角是60°以及正方形的四个角都是直角可得∠BCD′=30°,然后证明A′BCD′,进而得到四边形A′BCD′是平行四边形,再根据A′B=BC,即可证明四边形A′BCD′是菱形;

②根据旋转角是60°求出点BA′D′的距离是A′B的一半,也就是AB的一半,然后根据正方形的面积公式以及菱形的面积即可证明;

③先求出OA′的长度,再根据菱形的对边相等,减去正方形的边长即可;

④根据旋转的性质,点OBC的中点为圆心,以BC的一半为半径逆时针旋转可以得到点O′,所以路径是弧而非线段.

①根据题意,∠A′BA=D′CD=60°,

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BCD=90°,

∴∠BCD′=30°,

∴∠A′BC+BCD′=60°+90°+30°=180°,

A′BCD′,

又∵A′B=CD′=AB,

∴四边形A′BCD′是平行四边形,

AB=BC(正方形的边长相等),

∴四边形A′BCD′是菱形,故本题小题正确;

②∵∠ABA′=60°,AB=2,

∴点BA′D′的距离是:A′B=AB=1,

S四边形A′BCD=BC(A′B)=2×1=2,

S正方形ABCD=BCAB=2×2=4,

S四边形A′BCDS正方形ABCD,故本小题正确;

③∵点OAC的中点,

OA′=A′Bsin60°+BC=2××2=+1,

OD′=OA′A′D′=+12=1,故本小题正确;

④根据菱形的对角线互相垂直可得BCO′是直角三角形,

∴以BC的中点为圆心,以BC的一半为半径,点O逆时针旋转可以到达点O′的位置,经过路径是弧而不是线段OO′,故本小题错误.

综上所述,正确的结论有①②③共3个.

故选:C.

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