【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,A B为⊙O的直径,BD⊥AB,交AC的延长线于点D.
(1)E为BD的中点,连结CE,求证:CE是⊙O的切线.
(2)若AC=3,CD=1,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】
连接OC,利用思路:连半径,通过角的变换,证明出CO与CE的垂直关系,即可得出结论.
证明出△OBC为等边三角形,再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积,即可得出结论.
(1)如图:连接CO,
∵A B为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
在Rt△BCD中,E是BD的中点,
∴∠ECB=∠EBC,
∵BD⊥AB,∴∠EBC+CBA=90°,
而∠OCB=∠CBO,
∴∠OCE=90°,
∴CE是⊙O的切线.
(2)∵∠ACB=∠BCD=90°,
∠CAB=∠CBD,∴△ACB∽△BCD,
∴BC2=ACCD,即:BC=,
AB2=BC2+AC2=3+9=12,
∴OB=AB==BC,
∴△OBC为等边三角形,
∠BOC=60°,
S阴影=S扇形BCO﹣S△BOC=﹣××=﹣.
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【题目】已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.
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【题目】如图,已知:关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标;
(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到 达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.
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【题目】如图,和都是等边三角形,和交于点.
(1)求证:;
(2)下列结论中,正确的有________个.
①;②;③平分;④平分.
(3)请选择(2)中任一正确结论进行证明.你选的序号是 _________.
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【题目】定义:P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角系中四点.
(1)根据上述定义,当m=2,n=3时,如图1,线段BC与线段OA的距离是 ,当m=5,n=3时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为 .
(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.
(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M.点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值,使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】若a=2016×2018-2016×2017, b=2015×2016-2013×2017,,则a,b,c的大小关系是( )
A. a<b<c B. a<c<b C. b<a<c D. b<c<a
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【题目】如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(3,2)、B(1,3).△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.(直接填写答案)
(1)点A关于点O中心对称的点的坐标为 ;
(2)点A1的坐标为 ;
(3)在旋转过程中,点B经过的路径为弧BB1,那么弧BB1的长为 .
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【题目】如图,△ABC内接与⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于AC点E,交PC于点F,连接AF.
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若⊙O的半径为4,AF=3,求AC的长.
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