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【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,A B⊙O的直径,BD⊥AB,交AC的延长线于点D.

(1)EBD的中点,连结CE,求证:CE⊙O的切线.

(2)若AC=3,CD=1,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】

连接OC,利用思路:连半径,通过角的变换,证明出COCE的垂直关系,即可得出结论.

证明出OBC为等边三角形,再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积即可得出结论.

(1)如图:连接CO,

∵A B⊙O的直径,∴∠ACB=90°,

Rt△BCD中,EBD的中点,

∴∠ECB=∠EBC,

∵BD⊥AB,∴∠EBC+CBA=90°,

∠OCB=∠CBO,

∴∠OCE=90°,

∴CE⊙O的切线.

(2)∵∠ACB=∠BCD=90°,

∠CAB=∠CBD,∴△ACB∽△BCD,

∴BC2=ACCD,即:BC=

AB2=BC2+AC2=3+9=12,

∴OB=AB==BC,

∴△OBC为等边三角形,

∠BOC=60°,

S阴影=S扇形BCO﹣SBOC=××=

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