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【题目】定义:P、Q分别是两条线段ab上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角系中四点.

(1)根据上述定义,当m=2,n=3时,如图1,线段BC与线段OA的距离是  ,当m=5,n=3时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为  

(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.

(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M.点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值,使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)3,;(2)d=;(3)存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,m的取值为:1、3

【解析】

(1)理解新定义,按照新定义的要求求出两个距离值;
(2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6:
4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2;
2≤m<4时,作BNx轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长;
(3)如答图4所示,符合题意的相似三角形有三个,需要进行分类讨论,分别利用点的坐标关系以及相似三角形比例线段关系求出m的值.

(1)当m=2,n=3时,

如题图1,线段BC与线段OA的距离(即平行线BCOA之间的距离)=3;

m=5,n=3时,

B点坐标为(5,3),线段BC与线段OA的距离,即为线段AB的长,

如答图1,过点BBN⊥x轴于点N,则AN=1,BN=3,

Rt△ABN中,由勾股定理得:AB===

故答案为3,

(2)如答图2所示,当点B落在⊙A上时,m的取值范围为2≤m≤6:

4≤m≤6,显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径,即d=2;

2≤m<4时,作BN⊥x轴于点N,线段BC与线段OA的距离等于BN长,

ON=m,AN=OA﹣ON=4﹣m,在Rt△ABN中,由勾股定理得:

∴d==

3依题意画出图形,点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示:

由图可见,封闭图形由上下两段长度为8的线段,以及左右两侧半径为2的半圆所组成,

其周长为:2×8+2×π×2=16+4π,

M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为:16+4π.

②结论:存在.

∵m≥0,n≥0,∴M位于第一象限.

∵A(4,0),D(0,2),∴OA=2OD.

如答图4所示,相似三角形有三种情形:

(I)△AM1H1,此时点M纵坐标为2,点HA点左侧.

如图,OH1=m+2,M1H1=2,AH1=OA﹣OH1=2﹣m,

由相似关系可知,M1H1=2AH1,即2=2(2﹣m),

∴m=1;

(II)△AM2H2,此时点M纵坐标为2,点HA点右侧.

如图,OH2=m+2,M2H2=2,AH2=OH2﹣OA=m﹣2,

由相似关系可知,M2H2=2AH2,即2=2(m﹣2),

∴m=3;

(III)△AM3H3,此时点B落在⊙A上.

如图,OH3=m+2,AH3=OH3﹣OA=m﹣2,

过点BBN⊥x轴于点N,则BN=M3H3=n,AN=m﹣4,

由相似关系可知,AH3=2M3H3,即m﹣2=2n (1)

Rt△ABN中,由勾股定理得:22=(m﹣4)2+n2 (2)

由(1)、(2)式解得:m1=,m2=2,

m=2时,点M与点A横坐标相同,点H与点A重合,故舍去,

∴m=

综上所述,存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似,m的取值为:1、3

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