【题目】如图,在边长为8的正方形ABCD中,点O为AD上一动点(4<OA<8),以O为圆心,OA的长为半径的圆交边CD于点E,连接OE、AE,过点E作⊙O的切线交边BC于F.
(1)求证:△ODE∽△ECF;
(2)在点O的运动过程中,设DE= :
①求的最大值,并求此时⊙O的半径长;
②判断△CEF的周长是否为定值,若是,求出△CEF的周长;否则,请说明理由?
【答案】(1)证明见解析;(2)①5;②16.
【解析】试题分析:(1)根据∠OEF=90°得出∠OED+∠CEF=90°,根据∠CEF+∠CFE=90°得出∠OED=∠EFC,最后根据∠D=∠C即可证出△ODE∽△ECF;
(2)①根据△ODE∽△ECF,得出ODCF=DEEC,设DE=x,得出ODCF=-(x-4)2+16,从而求出最大值,设此时半径为r,根据OD2+DE2=OE2,得出(8-r)2+42=r2,解方程即可;
②在Rt△ODE中,根据OD2+DE2=OE2,OA=OE,得出(8-OE)2+x2=OE2,求出OE=4+,OD=4-,根据Rt△DOE∽Rt△CEF,得出,代入得出CF=,EF=,最后根据△CEF的周长=CE+CF+EF代入计算即可得出△CEF的周长=16,是定值.
试题解析:(1)证明:∵EF切⊙O于点M,
∴∠OEF=90°,
∴∠OED+∠CEF=90°,
∵∠C=90°,
∴∠CEF+∠CFE=90°,
∴∠OED=∠EFC,
∵∠D=∠C=90°,
∴△ODE∽△ECF;
(2)解:①由(1)知:△ODE∽△ECF,
∴,
∴ODCF=DEEC,
∵DE=x,
∴EC=8-x,
∴ODCF=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,
当x=4时,ODCF的值最大,最大值为16,
设此时半径为r,则OA=OE=r,OD=8-r,
在Rt△ODE中,
∵OD2+DE2=OE2,
∴(8-r)2+42=r2,
解得r=5,
即此时半径长为5;
②△CEF的周长为定值,△CEF的周长=16,
在Rt△ODE中,OD2+DE2=OE2,OA=OE,
即:(8-OE)2+x2=OE2,
∴OE=4+,OD=8-OE=4-,
∵Rt△DOE∽Rt△CEF,
即,
∴,
解得:CF=,EF=,
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=8-x++=16.
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【题目】定义:P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角系中四点.
(1)根据上述定义,当m=2,n=3时,如图1,线段BC与线段OA的距离是 ,当m=5,n=3时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为 .
(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.
(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M.点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作MH⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值,使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了解某校中学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况,随机抽取了x名学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目),并将调查结果绘制成如图统计图表:根据以上提供的信息,解答下列问题:
节目 | 人数(名) | 百分比 |
最强大脑 | 5 | 10% |
朗读者 | 15 | b% |
中国诗词大会 | a | 40% |
出彩中国人 | 10 | 20% |
(1)x= ,a= ,b= ;
(2)补全上面的条形统计图;
(3)在喜爱《最强大脑》的学生中,有2名女同学,其余为男同学,现要从中随机抽取2名同学代表学校参加潍坊市组织的竞赛活动,请用树状图或列表法求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率.
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【题目】如图,点A.B.C分别是⊙O上的点,∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:AP是⊙O的切线;
(2)求PD的长.
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【题目】如图,△ABC内接与⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于AC点E,交PC于点F,连接AF.
(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若⊙O的半径为4,AF=3,求AC的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点D在y轴上,A(﹣3,0),B(1,b),则正方形ABCD的面积为( )
A.34B.25C.20D.16
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠B=600,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若PD=,求⊙O的直径.
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【题目】已知反比例函数的图象过点A(3,2).
(1)试求该反比例函数的表达式;
(2)M(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3,过点M作直线MB∥x轴,交y轴于点B;过点A作直线AC∥y轴,交x轴于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时,请判断线段BM与DM的大小关系,并说明理由.
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【题目】已知:A(1,0),B(0,4),C(4,2).
(1)在坐标系中描出各点(小正方形网格的长度为单位1),画出△ABC;(三点及连线请加黑描重)
(2)若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称,请在图中画出△A1B1C1;
(3)点Q是x轴上的一动点,则使QB+QC最小的点Q坐标为 .
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