Question

19．关于x的一元二次方程x²-（m-1）x+2m-1=0：
（1）若其根的判别式为-20，求m的值；
（2）设该方程的两个实数根为x₁，x₂，且x₁²+x₂²=10，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用根的判别式建立关于m的方程求得方程的根即可；
（2）由根与系数的关系得出x₁+x₂=m-1，x₁x₂=2m-1，整理代入x₁²+x₂²=10，得出关于m的方程求得m，进一步利用根的判别式验证即可．

解答 解：（1）△=[-（m-1）]²-4（2m-1）=m²-10m+5，
∵△=-20，
∴m²-10m+5=-20
∴m²-10m+25=0
解得m₁=m₂=5
∴m=5；
（2）由根与系数的关系得x₁+x₂=m-1，x₁x₂=2m-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2 x₁x₂=（m-1）²-2（2m-1）=10，
∴m²-6m-7=0，
解得：m₁=7，m₂=-1，
当m₁=7时，△=m²-10m+5=-16＜0 方程无实数根，不符合意愿，舍去；
当m₂=-1时，△=m²-10m+5=16＞0符合题意．
∴m=-1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．