Question

14．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连接AD₁、BC₁．若∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD与△A₁C₁D₁重叠部分面积为S，则下列结论：
①△A₁AD₁≌△CC₁B；
②当x=1时，四边形ABC₁D₁是菱形；
③当x=2时，△BDD₁为等边三角形；
④S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-2）²（0≤x≤2）．
其中正确的是①②③（将所有正确答案的序号都填写在横线上）

Answer 1

分析 ①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A₁=∠ACB，A₁D₁=CB，从而证出结论；
②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C₁在AC中点时四边形ABC₁D₁是菱形．
③当x=2时，点C₁与点A重合，可求得BD=DD₁=BD₁=2，从而可判断△BDD₁为等边三角形．
④易得△AC₁F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式．

解答 解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，
在△A₁AD₁与△CC₁B中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠{A}_{1}=∠ACB}\\{{A}_{1}{D}_{1}=CB}\end{array}\right.$
故①正确；
②∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，
∴△AC₁B是等边三角形，
∴AB=D₁C₁，
又AB∥D₁C₁，
∴四边形ABC₁D₁是菱形，
故②正确；
③如图所示：

则可得BD=DD₁=BD₁=2，
∴△BDD₁为等边三角形，故③正确．
④易得△AC₁F∽△ACD，
∴$\frac{{S}_{△A{C}_{1}F}}{{S}_{△ACD}}=（\frac{2-x}{2}）^{2}$，
解得：${S}_{△A{C}_{1}F}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}（x-2）^{2}$（0＜x＜2）；故④错误；
综上可得正确的是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．