Question

6．如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB=3，DP=1，则PP′=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由正方形的性质得出AB=AD=3，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，由勾股定理求出AP，再由旋转的性质得出△ADP≌△ABP′，得出AP′=AP=$\sqrt{10}$，∠BAP′=∠DAP，证出△PAP′是等腰直角三角形，得出PP′=$\sqrt{2}$AP，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，
∴AP=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△ADP旋转后能够与△ABP′重合，
∴△ADP≌△ABP′，
∴AP′=AP=$\sqrt{10}$，∠BAP′=∠DAP，
∴∠PAP′=∠BAD=90°，
∴△PAP′是等腰直角三角形，
∴PP′=$\sqrt{2}$AP=2$\sqrt{5}$；
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形和旋转的性质是解决问题的关键．