Question

【题目】如图，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，交AC于点E，交AB于点F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若BD=，BF=2，求阴影部分的面积　　　　(直接填空)．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，利用角平分线和平行线之间的角度关系，得到OD//AC，所以OD⊥BC，从而得出BC与⊙O相切；

（2）利用直角三角形的勾股定理解得圆的半径，将阴影部分的面积转化为三角形面积与扇形面积之差，从而计算出阴影部分的面积．

（1）证明：如图，连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠ODB=∠C=90°，

∵OD是⊙O的半径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，则OD=r，OB=r+2，

由（1）可知∠BDO=90°，

在Rt△BDO中，根据勾股定理可得：OD2+BD2=OB2，

即r2+（）2=(r+2)2，

解得：r=2，

在Rt△BOD中，tan∠BOD=，

∴∠BOD=60°，

故阴影部分的面积为：

S阴影=S△OBD-S扇形DOF=×OD×BD-．