Question

已知AB是⊙O的直径，AB=10，弦BC=6，点D在⊙O上与点C在AB两侧，过点D作⊙O的切线PD．
（1）如图1，PD与AB延长线交于点P，连接PC，若PC与⊙C相切，求弦AD、CD的长．
（2）如图2，若切线PD∥AB，求弦AD、CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）连结OD，如图1，根据切线长定理得到PC=PD，OP平分∠CPD，再利用等腰三角形的性质得到PA⊥CD，则根据垂径定理得到

BC

=

BD

，CE=DE，所以BD=BC=6，然后根据圆周角定理由AB为直径得到∠ADB=90°，于是可根据勾股定理计算出AD=8；接着利用面积法计算出DE，从而得到CD的长；
（2）作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连结OD、OB，如图2，根据切线的性质由PD为⊙O的切线得PD⊥OD，利用AB∥PD得到OD⊥AB，则根据垂径定理得到

AD

=

BD

，
所以AD=BD，利用AB为直径得到∠ADB=90°，∠ACB=90°，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，所以AD=

2

2

AB=5

2

；在Rt△ACB中勾股定理可计算出AC=8，接着由四边形DECF为正方形得到CE=CF，证明Rt△DAE≌Rt△DBF得到AE=BF，然后计算出CE=7，最后根据正方形的性质得到CD=

2

CE=7

2

．

解答：（1）解：连结OD，如图1，
∵PC和PD为⊙O的切线，
∴PC=PD，OP平分∠CPD，
∴PA⊥CD，
∴

BC

=

BD

，CE=DE，
∴BD=BC=6，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD=

AB2-BD2

=

102-62

=8；
∵

1

2

DE•AB=

1

2

AD•BD，
∴DE=

6×8

10

=

24

5

，
∴CD=2DE=

48

5

；

（2）作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连结OD、OB，如图2，
∵PD为⊙O的切线，
∴PD⊥OD，
∵AB∥PD，
∴OD⊥AB，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，∠ACB=90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AB=5

2

，
在Rt△ACB中，∵BC=6，AB=10，
∴AC=

AB2-BC2

=8，
∵

AD

=

BD

，
∴∠ACD=∠BCD，
∴DE=DF，
∴四边形DECF为正方形，
∴CE=CF，
在Rt△DAE和Rt△DBF中，

DE=DF DA=DB

，
∴Rt△DAE≌Rt△DBF，
∴AE=BF，
∴AC+BC=CE+AE+CF-BF=2CE，
∴2CE=6+8=14，解得CE=7，
而四边形DECF为正方形，
∴CD=

2

CE=7

2

．

点评：本题考查了切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理和等腰三角形的性质．