Question

17．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求抛物线与x轴另一个交点B的坐标，并观察图象直接写出当x为何值时y＞0？
（3）当-2≤x≤2时，求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2求出b=-$\frac{3}{2}$，从而得到抛物线解析式，然后把一般式通过配方化为顶点式即可得到顶点D的坐标；
（2）通过解方程x²-$\frac{3}{2}$x-2=0可得到B点坐标，然后观察函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可；
（3）先分别计算出当x=-2和x=2所对应的函数值，由于x=$\frac{3}{2}$时，y的最小值为-$\frac{25}{8}$，于是得到y的取值范围为-$\frac{25}{8}$≤y≤3．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2得$\frac{1}{2}$-b-2=0，解得b=-$\frac{3}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2，
因为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{8}$，
所以顶点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）；
（2）当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=0，
整理得x²-3x-4=0，解得x₁=-1，x₂=4，
所以B点坐标为（4，0），
当x＜-1或x＞4时，y＞0；
（3）当x=-2时，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=3；当x=2时，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=-3，
所以当-2≤x≤2时，y的取值范围为-$\frac{25}{8}$≤y≤3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数与不等式．解决（3）小题的关键是x=$\frac{3}{2}$时，y的最小值为-$\frac{25}{8}$．