【题目】(1)问题背景:如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,请探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系是什么?
小明探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连结AG.先证明△ABE≌△ADG,得AE=AG;再由条件可得∠EAF=∠GAF,证明△AEF≌△AGF,进而可得线段BE,EF,FD之间的数量关系是 .
(2)拓展应用:
如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD.问(1)中的线段BE,EF,FD之间的数量关系是否还成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)EF=BE+DF;(2)结论EF=BE+DF仍然成立;证明见解析.
【解析】
(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;
(2)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题.
(1)EF=BE+DF,
理由如下:
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
故答案为:EF=BE+DF.
(2)结论EF=BE+DF仍然成立;
理由:延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,如图2,
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,
∴∠B=∠ADG,
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF.
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为2、、
;
(3)如图3,点A、B、C是小正方形的顶点,求∠ABC的度数.
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【题目】如图,△ABC中,AE=BE,∠AED =∠ABC.
(1)求证:BD平分∠ABC;
(2)若AB = CB,∠AED =4∠EAD,求∠C的度数.
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【题目】如图,一勘测人员从B点出发,沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D处,用了12分钟,然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点处,用了10分钟,求山高(即AC的长度)及(即BC的长)(精确到0.01千米).
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于E,AC的垂直平分线交BC于N,交AC于F,若MN=2,则NF=___________
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的边AB在x轴上,点B坐标(﹣3,0),点C在y轴正半轴上,且sin∠CBO=,点P从原点O出发,以每秒一个单位长度的速度沿x轴正方向移动,移动时间为t(0≤t≤5)秒,过点P作平行于y轴的直线l,直线l扫过四边形OCDA的面积为S.
(1)求点D坐标.
(2)求S关于t的函数关系式.
(3)在直线l移动过程中,l上是否存在一点Q,使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知一条直线过点,且与抛物线
交于
,
两点,其中点
的横坐标是
.
求这条直线的函数关系式及点
的坐标.
在
轴上是否存在点
,使得
是直角三角形?若存在,求出点
的坐标,若不存在,请说明理由.
过线段
上一点
,作
轴,交抛物线于点
,点
在第一象限,点
,当点
的横坐标为何值时,
的长度最大?最大值是多少?
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