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【题目】如图,菱形ABCD中,AB=2,∠C=60°,我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心.菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作,则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为;经过3n(n为正整数)次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为 . (结果都保留π)

【答案】
【解析】解:∵菱形ABCD中,AB=2,∠C=60°,
∴△ABD是等边三角形,
BO=DO=1,
AO= =
第一次旋转的弧长= =
∵第一、二次旋转的弧长和= + = π,
第三次旋转的弧长为: =
∵3n÷3=n,
故经过3n(n为正整数)次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为:n×( π+ )= nπ.
故答案为: nπ.

从图中可以看出,第一次旋转是以点A为圆心,那么菱形中心旋转的半径就是OA,解直角三角形可求出OA的长,圆心角是60°.第二次还是以点A为圆心,那么菱形中心旋转的半径就是OA,圆心角是60°.第三次就是以点B为旋转中心,OB为半径,旋转的圆心角为60度.旋转到此菱形就又回到了原图.故这样旋转3n次,就是这样的n个弧长的总长,依此计算即可得,进而得出经过3n(n为正整数)次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长.

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