Question

已知，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．

（1）如图①，AB=10，AD=2，求AC的长；

（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C，G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求的值．

Answer 1

 

【考点】切线的性质；平移的性质．

【分析】（1）先由圆周角定理得出∠ACB=90°=∠ADC，再由弦切角定理得出∠ACD=∠B，证出△ACD∽△ABC，得出对应边成比例，得出AC²=AB•AD，即可求出AC；

（2）先根据勾股定理求出AB，再由圆内接四边形的性质得出∠ACD=∠B，证出△ACD∽△ABC，得出比例式即可得出结果．

【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵直线CD与⊙O相切于点C，

∴∠ACD=∠B，

又∵AD⊥CD，

∴∠CDA=90°=∠ACB，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∴AC²=AB•AD=10×2=20，

∴AC=2；

（2）∵AB为⊙O的直径，

∴∠AGB=90°，

∴AB==5，

∵AD⊥CD，

∴∠CDA=90°=∠AGB，

又∵∠ACD=∠B，

∴△ACD∽△ABC，

∴．

【点评】本题考查了切线的性质、弦切角定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆的有关定理，证明三角形相似是解决问题的关键．