【题目】(1)观察推理:如图①,在中,
,直线
过点
,点
在直线
的同侧,
,垂足分别为
.求证:
.
(2)类比探究:如图②,在中,
,将斜边
绕点
逆时针旋转90°至
,连接
,求
的面积.
(3)拓展提升:如图③,在中,
,点
在
上,且
,动点
从点
沿射线
以每秒1个单位长度的速度运动,连接
,将线段
绕点
逆时针旋转120°得到线段
.要使点
恰好落在射线
上,求点
运动的时间
.
【答案】(1)见解析;(2)8;(3)4s.
【解析】
(1)先利用等角的余角相等得到∠EAC=∠BCD,则可根据“AAS”证明△AEC≌△CDB;
(2)作B′D⊥AC于D,如图2,先证明△B′AD≌△ABD得到B′D=AC=4,然后根据三角形面积公式计算;
(3)如图3,利用旋转的性质得∠FOP=120°,OP=OF,再证明△BOF≌△CPO得到PC=OB=1,则BP=BC+PC=4,然后计算点P运动的时间t.
(1)∵BD⊥l,AE⊥l,
∴∠AEC=∠BDC=90°,
∴在Rt△AEC中,∠EAC+∠ACE=90°.
又∵∠ACE+∠DCB=180°-∠ACB=180°-90°=90°,
∴∠EAC=∠DCB,
在△AEC与△CDB中, ,
∴△AEC≌△CDB(AAS).
(2)如图,作B′D⊥AC于点D,则∠ADB′=∠BCA=90°.
由旋转可知,AB′=AB,∠B′AB=90°.
∴∠B′AC+∠BAC=90°,
在Rt△ACB中,∠B+∠BAC=90°.
∴∠B′AC=∠B.
在△B′AD与△ABC中,,
∴△B′AD≌△ABC(AAS),
∴B′D=AC=4,
∴S△AB′C=×AC×B′D=
×4×4=8.
(3)对图形进行角标注,如图所示.
∵BC=3cm,OC=2cm,
∴OB=BC-OC=1cm.
由旋转可知∠FOP=120°,OP=OF,
∴∠1+∠2=180°-∠FOP=180°-120°=60°,
在△BCE中,∠E=∠ECB=60°,
∴∠EBC=180°-∠E-∠ECB=180°-60°-60°=60°,
又∵∠OBF+∠CBE=180°,∠PCO+∠ECB=180°,
∴∠OBF=∠PCO.
在△PCO中,∠2+∠3=∠ECB=60°,
又∵∠1+∠2=60°,
∴∠1=∠3.
在△BOF与△CPO中, ,
∴△BOF≌△CPO(AAS),
∴PC=OB=1cm,
∴EP=EC+PC=3+1=4cm,
∴点P的运动时间t=4÷1=4(s).
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【题目】一水池放水,先用一台抽水机工作一段时间后停止,然后再调来一台同型号抽水机,两台抽水机同时工作直到抽干.设从开始工作的时间为,剩下的水量为
.下面能反映
与
之间的关系的大致图象是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,已知点E、F在直线AB上,点G在线段CD上,ED与FG交于点H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.
(1)求证:CE∥GF;
(2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系,并说明理由;
(3)若∠EHF=100°,∠D=30°,求∠AEM的度数.
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【题目】(12分)如图,矩形ABCD,AB=6cm,AD=2cm,点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A-B-C向点C运动,同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动,当其中一个动点到达末端停止运动时,另一点也停止运动.
(1)问两动点运动几秒,使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的
;
(2)问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为?若存在,
求出运动所需的时间;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且
.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)直接写出直线BC的函数表达式;
(3)如图1,D为y轴的负半轴上的一点,且OD=2,以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF
以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动,在运动过程中,设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s,运动的时间为t秒(0<t≤2).
求:①s与t之间的函数关系式; ②在运动过程中,s是否存在最大值?如果存在,直接写出这个最大值;如果不存在,请说明理由.
(4)如图2,点P(1,k)在直线BC上,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、
N、P为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在□ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点.
(1)求证:四边形EBFD为平行四边形;
(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N.求证:△ABN≌△CDM.
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【题目】有甲、乙两艘船,现同时由A地顺流而下,乙船到B地接到通知,须立即逆流而上到达与A,B两地在同一直线的C地执行任务,甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7.5千米,水流的速度为每小时2.5千米,A,C两地间的距离为10千米.如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时,问:乙船从B地到达C地时,甲船距离B地多远?
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【题目】乘法公式的探究及应用.
(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是 ,长是 ,面积是 (写成多项式乘法的形式);
(3)比较图1、图2阴影部分的面积,可以得到公式 ;
(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
①10.2×9.8,②(2m+n﹣p)(2m﹣n+p).
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