Question

23、已知：如图，点C、D在线段AB上．
（1）如果△PCD是等边三角形，当∠APB=

120°

时，△ACP∽△PDB；
（2）如果△PCD是等腰直角三角形，且PC=PD，当∠APB=

135°

时，△ACP∽△PDB；
（3）如果△PCD是等腰三角形，其中PC=PD，∠PCD=30°，试猜想当∠APB等于多少度时，△ACP∽△PDB．请证明你在（3）中的猜想．

Answer 1

分析：利用相似三角形性质，等腰三角形性质，三角形一个外角等于不相邻的两个内角之和，即可得出答案．

解答：解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°．
又∵∠PCD为△PCA的一个外角，
∴∠PCD=∠CPA+∠CAP．
若△ACP∽△PDB，那么∠DPB=∠CAP，
即∠DPB+∠CPA=∠PCD=60°，
又∵△PCD为等边三角形，
∴∠CPD=60°．
∴∠APB=120°．

（2）当△PCD为直角三角形且∠CPD=90°时，∠PCD=45°，
根据（1）结果可知∠APB=∠PCD+90°=135°．

（3）由以上两题可猜想规律为∠APB=∠PCD+∠CPD．
若△PCD为等腰三角形，且∠PCD=30°，那么∠CPD=120°，
∴∠APB=30°+120°=150°．

点评：此题考查了相似三角形的性质以及三角形外角性质，本题关键为找到角之间的关系规律．