Question

【题目】某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：设y=kx+b，

把（22，36）与（24，32）代入得： ，

解得： ，

则y=﹣2x+80

（2）解：设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，

根据题意得：（x﹣20）y=150，

则（x﹣20）（﹣2x+80）=150，

整理得：x2﹣60x+875=0，

（x﹣25）（x﹣35）=0，

解得：x1=25，x2=35（不合题意舍去），

答：每本纪念册的销售单价是25元

（3）解：由题意可得：

w=（x﹣20）（﹣2x+80）

=﹣2x2+120x﹣1600

=﹣2（x﹣30）2+200，

此时当x=30时，w最大，

又∵售价不低于20元且不高于28元，

∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），

答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元

【解析】1）抓住已知条件，y是x的一次函数，因此设y=kx+b，根据题意，利用待定系数法，建立方程组，解方程组求解，即可求出y与x的函数关系式。
（2）等量关系：（售价-进价）×销售量y=150，建立方程求解，再根据售价不低于20元且不高于28元，进而求出答案。
（3）根据w=（售价-进价）×销售量，列出函数关系式，将此函数解析式转化为顶点式，进而利用二次函数增减性及售价不低于20元且不高于28元求出答案。