Question

20．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠AOB=60°，AE平分∠BAD交BC于E
（1）求证：△AOB是等边三角形；
（2）求证：AC=2BE；
（3）求∠COE的度数．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出OA=OB，再由∠AOB=60°，即可得出结论；
（2）由矩形的性质和角平分线得出△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=OA，即可得出结论；
（3）由矩形的性质和（1）的结论得出∠OBE=30°，证出OB=BE，求出∠BOE，即可得出∠COE的度数．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABD=90°，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD，
∴OA=OB，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形；
（2）证明：由（1）得：△AOB是等边三角形，
∴AB=OB=OA=$\frac{1}{2}$AC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB，
∴BE=OA，
∴AC=2BE；
（3）解：由（1）得：△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，
∴∠OBE=90°-60°=30°，
∵BE=AB，OB=AB，
∴OB=BE，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵∠BOC=180°-60°=120°，
∴∠COE=120°-75°=45°．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．