Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx-3与轴交于，两点（点在点左侧），A(-1,0)，B(3,0)，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为。

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；

（3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使，，，这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）；（3）存在4个符合条件的F点，分别为F（﹣3，0），（1，0），（4+，0），（4﹣，0）．

【解析】

（1）将A、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；

（2）将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标．由待定系数法可求出直线AC的解析式．PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x，用x分别表示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PE的最大值；

（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．

（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：a=1，b=﹣2，∴y=x2﹣2x﹣3．

（2）将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3，得：y=﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1．

设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）．

∵P点在E点的上方，∴PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2，∴当x=时，PE的最大值=．

（3）存在．讨论如下：

①如图，连接C与抛物线和y轴的交点．

∵C（2，﹣3），G（0，﹣3），∴CG∥x轴，此时AF=CG=2，∴F点的坐标是（﹣3，0）；

②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图，设F（x，0）．

∵ACFG是平行四边形，∴AF的中点与CG的中点重合．

∵AF的中点的纵坐标为0，∴C，G两点的纵坐标互为相反数，∴G点的纵坐标为3，∴x2﹣2x﹣3=3，解得：x=1±，∴G点的坐标为（1±，3），∴AF的中点的横坐标=CG的中点的横坐标，∴ ，解得：x=，∴F的坐标为（，0）．

综上所述：存在4个符合条件的F点，分别为F（﹣3，0），（1，0），（4+，0），（4﹣，0）．