Question

【题目】如图，中，，，点为边上的动点（不与、重合），

，交于点．

（1）与的大小关系为________．请证明你的结论；

（2）设，，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）当是等腰三角形时，求的长；

（4）是否存在，使的面积是面积的倍？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】相等

【解析】

（1）由AB=AC易知△ABC是等腰直角三角形，即∠B=∠C=45°，已知∠ADE=45°，由三角形内角和定理以及平角的定义可得∠BAD、∠CDE都等于180°-45°-∠ADB，由此可证得两角相等；

（2）由（1）的等角，联立∠B=∠C=45°，可证得△DCE∽△ABD，根据相似三角形所得比例线段，即可表示出CE的长，进而由AE=AC-CE求得y、x的函数关系式；

（3）由于D与B、C不重合，显然∠ADE=∠AED=45°不符合题意，即AD≠AE，所以此题分两种情况讨论：①AD=DE，此时（2）的相似三角形全等，由此可求得CD、BD的长，进而可得CE、AE的值；②AE=DE，此时∠DAE=45°，即AD平分∠BAC，由于△BAC是等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可知AD垂直平分BC，同理可证得DE垂直平分AC，即AE为AC长的一半，由此得解；

（4）若△DCE的面积是△ABD面积的2倍，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可知：CE=BD，然后表示出AE的长，代入（2）的函数关系式中，即可求得x的值，若x=0，则说明D、B重合，显然不存在符合条件的x，若x的值符合（2）的自变量取值范围，那么x的值即为所求．

相等；

证明如下：∵，，

∴．

如图，

∵，

∴．

又∵，

∴

，

即，

∴；

由知，

又∵，

∴．

若，则，

由得，即，

，

，

，

∴，

其中；

∵点不能与点重合，∴不能成立，

（或：∵，若，

则，从而，

即与重合，这与已知条件矛盾）．

①当、为腰，即时（如图），

，此时，平分，

∴为边的中点（“三线合一”性质），

且也为边的中点，∴；

②当、为腰，即时（如图），

由知，此时与为对应边，

∴，，

，；

综上所述，当是等腰三角形时，

的长为或；

不存在．

原因如下：∵，若的面积是面积的倍，

则，

从而，，，

解得，即，就是说点与点重合，

这与已知条件矛盾，

∴不存在，使的面积是面积的倍．