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【题目】若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形,则称该抛物线“等边抛物线”.

(1)若对任意m,n,点M(m,n)和点N(-m+4,n)恒在“等边抛物线”上,求抛物线的解析式;

(2)若抛物线“等边抛物线”,求的值;

(3)对于“等边抛物线”,当1<x<m吋,总存在实数b。使二次函数的图象在一次函数y=x图象的下方,求m的最大值.

【答案】1;(2;(3m的最大值为6.

【解析】

1)先由点M和点N关于对称轴对称,可得对称轴x=2,依据x=,可得b=-4a,从而得,然后分a0a0两种情况讨论,根据等边三角形性质得出顶点坐标,代入计算即可;

2)设等边抛物线与x轴的两个交点分别为,知,结合顶点坐标,可得:,由此即可求出

3)由(2)中可得,结合该等边抛物线过(11),求得b=-6b=2,依据对称轴位置可知b=-6,联立,解得x=1x=6,从而得出答案.

解:(1)由题意得,点M和点N关于对称轴对称,

∴对称轴x=

x=

b=-4a

①当a0时,顶点坐标为(2-2),

代入,得-2=4a-8a

解得:a=

②当a0时,顶点坐标为(22),

代入,得2=4a-8a

解得:a=

综上,

2)设等边抛物线与x轴的两个交点分别为

,∴

又∵抛物线顶点坐标为

,∵

3)由(2)得,∴

由题意可得该等边抛物线过(11),

解得:b=-6b=2

又对称轴x=

b-2

b=-6

联立

解得x=1x=6

m的最大值为6.

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