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【题目】如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的O与底边AB交于点D,过点DDEAC,垂足为E

(1)证明:DEO的切线;

(2)连接DC,若BC=4,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积.

【答案】(1)详见解析;(2).

【解析】

(1)连接OD,由平行线的判定定理可得OD∥AC,利用平行线的性质得∠ODE=∠DEA=90°,可得DE⊙O的切线;
(2)连接CD,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积利用扇形DOC面积-三角形DOC的面积计算即可.

解:

1)证明:连接OD

ODOB

∴∠ODB=∠B

ACBC

∴∠A=∠B

∴∠ODB=∠A

ODAC

∴∠ODE=∠DEA90°

DEO的切线;

2)连接CD

∵∠A30°ACBC

∴∠BCA120°

BC为直径,

∴∠ADC90°

CDAB

∴∠BCD60°

ODOC

∴∠DOC60°

∴△DOC是等边三角形,

BC4

OCDC2

SDOCDC×

DC与弦DC所围成的图形的面积=

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40

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