【题目】如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)证明:DE为⊙O的切线;
(2)连接DC,若BC=4,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)连接OD,由平行线的判定定理可得OD∥AC,利用平行线的性质得∠ODE=∠DEA=90°,可得DE为⊙O的切线;
(2)连接CD,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积利用扇形DOC面积-三角形DOC的面积计算即可.
解:
(1)证明:连接OD,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠B,
∵AC=BC,
∴∠A=∠B,
∴∠ODB=∠A,
∴OD∥AC,
∴∠ODE=∠DEA=90°,
∴DE为⊙O的切线;
(2)连接CD,
∵∠A=30°,AC=BC,
∴∠BCA=120°,
∵BC为直径,
∴∠ADC=90°,
∴CD⊥AB,
∴∠BCD=60°,
∵OD=OC,
∴∠DOC=60°,
∴△DOC是等边三角形,
∵BC=4,
∴OC=DC=2,
∴S△DOC=DC×=,
∴弧DC与弦DC所围成的图形的面积=﹣=﹣.
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【题目】如图,在圆O中,弦AB⊥CD于E,弦AG⊥BC于F,CD与AG相交于点M.
(1)求证:弧BD=弧BG.
(2)如果AB=12,CM=4,求圆O的半径.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+2(m﹣1)x+m2﹣3=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为非负整数,且该方程的根都是无理数,求m的值.
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【题目】如图,已知反比例函数y =的图象经过点A(1,-3),一次函数y =kx +b的图象经过点A与点C(0,-4),且与反比例函数的图象相交于另一点B.试确定点B的坐标.
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【题目】如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则周长的最小值为
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】如图,△ABC,∠B=90°,点P由A开始沿AB向B运动,速度是1cm/s,点Q由B开始沿BC向C运动,速度是2cm/s,如果P、Q同时出发,经过多长时间△PBQ的面积等于7cm2,请列出方程估计解的大致范围(误差不超过0.01s).
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【题目】如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0,),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰经过x轴上的点A,B.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的解析式.
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【题目】为了响应市委和市政府“绿色环保,节能减排”的号召,幸福商场用3300元购进甲、乙两种节能灯共计100只,很快售完.这两种节能灯的进价、售价如下表:
进价(元/只) | 售价(元/只) | |
甲种节能灯 | 30 | 40 |
甲种节能灯 | 35 | 50 |
(1)求幸福商场甲、乙两种节能灯各购进了多少只?
(2)全部售完100只节能灯后,商场共计获利多少元?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、
B(0,-3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横
坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
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