Question

【题目】问题提出

（1）如图1，正方形ABCD的对角线交于点O，△CDE是边长为6的等边三角形，则O、E之间的距离为 ；

问题探究

（2）如图2，在边长为6的正方形ABCD中，以CD为直径作半圆O，点P为弧CD上一动点，求A、P之间的最大距离；

问题解决

（3）窑洞是我省陕北农村的主要建筑，窑洞宾馆更是一道靓丽的风景线，是因为窑洞除了它的坚固性及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点家住延安农村的一对即将参加中考的双胞胎小宝和小贝两兄弟，发现自家的窑洞(如图3所示)的门窗是由矩形ABCD及弓形AMD组成，AB=2m，BC=3.2m，弓高MN=1.2m(N为AD的中点，MN⊥AD)，小宝说，门角B到门窗弓形弧AD的最大距离是B、M之间的距离．小贝说这不是最大的距离，你认为谁的说法正确？请通过计算求出门角B到门窗弓形弧AD的最大距离．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（2）小贝的说法正确，理由见解析，．

【解析】

（1）连接AC，BD，由OE垂直平分DC可得DH长，易知OH、HE长，相加即可；

（2）补全⊙O，连接AO并延长交⊙O右半侧于点P，则此时A、P之间的距离最大，在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO长，易求AP长；

（3）小贝的说法正确，补全弓形弧AD所在的⊙O，连接ON，OA，OD，过点O作OE⊥AB于点E，连接BO并延长交⊙O上端于点P，则此时B、P之间的距离即为门角B到门窗弓形弧AD的最大距离，在Rt△ANO中，设AO=r，由勾股定理可求出r，在Rt△OEB中，由勾股定理可得BO长，易知BP长.

解：（1）如图1，连接AC，BD，对角线交点为O，连接OE交CD于H，则OD=OC．

∵△DCE为等边三角形，

∴ED=EC，

∵OD=OC

∴OE垂直平分DC，

∴DHDC=3．

∵四边形ABCD为正方形，

∴△OHD为等腰直角三角形，

∴OH=DH=3，

在Rt△DHE中，

HEDH=3，

∴OE=HE+OH=33；

（2）如图2，补全⊙O，连接AO并延长交⊙O右半侧于点P，则此时A、P之间的距离最大，

在Rt△AOD中，AD=6，DO=3，

∴AO3，

∴AP=AO+OP=33；

（3）小贝的说法正确．理由如下，

如图3，补全弓形弧AD所在的⊙O，连接ON，OA，OD，过点O作OE⊥AB于点E，连接BO并延长交⊙O上端于点P，则此时B、P之间的距离即为门角B到门窗弓形弧AD的最大距离，

由题意知，点N为AD的中点，，

∴ANAD=1.6，ON⊥AD，

在Rt△ANO中，

设AO=r，则ON=r﹣1.2．

∵AN2+ON2=AO2，

∴1.62+(r﹣1.2)2=r2，

解得：r，

∴AE=ON1.2，

在Rt△OEB中，OE=AN=1.6，BE=AB﹣AE，

∴BO，

∴BP=BO+PO，

∴门角B到门窗弓形弧AD的最大距离为．