Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线．

（1）按如下要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应的字母：过点C作直线CE，使CE⊥BC于点C，交BD的延长线于点E，连接AE；

（2）求证：四边形ABCE是矩形．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

（1）根据题意作图即可；
（2）先根据BD为AC边上的中线，AD=DC，再证明△ABD≌△CED（AAS）得AB=EC，已知∠ABC=90°即可得四边形ABCE是矩形．

（1）解：如图所示：E点即为所求；

（2）证明：∵CE⊥BC，

∴∠BCE=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BCE+∠ABC=180°，

∴AB∥CE，

∴∠ABE=∠CEB，∠BAC=∠ECA，

∵BD为AC边上的中线，

∴AD=DC，

在△ABD和△CED中

，

∴△ABD≌△CED（AAS），

∴AB=EC，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∵∠ABC=90°，

∴平行四边形ABCE是矩形．