Question

15．（1）平面直角坐标系中，若以动点P（x，y）到点F（0，1）的距离与点P到直线y=-1的距离相等，满足要求的动点P在某一条抛物线上，则此抛物线的解析式为y=$\frac{{x}^{2}}{4}$．
（2）已知该平面内还有一定点A（-1，2），连接PF、PA、FA，当△PAF的周长最小时，点P的坐标为（-1，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出P到F的距离，再根据P到F的距离为y+1，列出方程，得到抛物线的解析式；
（2）△PAF的周长=PF+AF+PA，由于AF为定值，所以当PF+PA最小时，△PAF的周长最小，由PE=PF，所以当PA、PE在同一直线上，可求出P的坐标．

解答 解：（1）设P（x，y），则
PF=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$，
∵P到F的距离为y+1，
∴y+1=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$，
∴y=$\frac{{x}^{2}}{4}$；
（2）∵△PAF的周长=PF+AF+PA，AF为定值，
∴当PF+PA最小时，△PAF的周长最小，
∵PE=PF，
∴PF+PA=PE+PA最小，
当PA、PE在同一直线上，AE⊥x轴，
∵点A（-1，2），
∴P的横坐标为-1，
y=$\frac{（-1）^{2}}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴P（-1，$\frac{1}{4}$）．
故答案为：（1）y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，（2）（-1，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题主要考查了坐标与图形的性质以及最短路径问题，数形结合，正确理解题意是解决问题的关键．