【题目】苏科版九年级下册数学课本91页有这样一道习题：
（1）复习时，小明与小亮、数学老师交流了自己的两个见解，并得到了老师的认可：
①可以假定正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“两边分别成比例且夹角相等的两个三角形相似”可以证明△ABE∽△DEF；请结合提示写出证明过程．
②图中的相似三角形共三对，而且可以借助于△ABE与△DEF中的比例线段来证明△EBF与它们相似．证明过程如下：
（2）交流之后，小亮尝试对问题进行了变化，在老师的帮助下，提出了新的问题，请你解答：
已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC．
（AB＞AE）
①求证：△AEF∽△ECF；
②设BC＝2，AB＝a，是否存在a值，使得△AEF与△BFC相似．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当a＝
时，△AEF与△BFC相似
【解析】(1)按提示，列出条件，便得到相似三角形；
（2）
由∠AEF＝∠DCE，∠A＝∠D＝90°，可证△AEF∽△DEC，得
，再由AE＝ED，得
，证得△AEF∽△EFC．
②由题意得：AE＝DE＝1，由△AEF∽△DCE得：AF＝
，故BF＝a－．分两种情况：若△AEF∽△BFC则
；若△AEF∽△BCF，则
．分别求解可得.
（1）①证明：假定正方形的边长AB＝4a，则AE＝DE＝2a，DF＝a，
在正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°．
＝2，∠A＝∠D＝90°．
∴△ABE∽△DEF．
（2）①证明：∵∠D＝90°，∴∠D EC＋∠DCE＝90°
∵EF⊥EC，∴∠D EC＋∠AEF＝90°
∴∠AEF＝∠DCE，又因为∠A＝∠D＝90°
∴△AEF∽△DEC
∴，∵AE＝ED,
∴，即
，∵∠A＝∠BEF＝90°
∴△AEF∽△EFC．
②由题意得：AE＝DE＝1，由△AEF∽△DCE得：AF＝，故BF＝a－．
若△AEF∽△BFC
则，此时a无解；
若△AEF∽△BCF
则 ，此时a＝．
所以，当a＝
时，△AEF与△BFC相似．
世纪百通期末金卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，甲、乙两动点分别从正方形
的顶点
同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第1次相遇在边
上．
（1）它们第2次相遇在边__________上；
（2）它们第2019次相遇在边__________上．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某校260名学生参加植树活动,要求每人植4~7棵,活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量,并分为四种类型, A：4棵；B：5棵；C：6棵；D:7棵,将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2),请回答下列问题:
(1)在这次调查中D类型有多少名学生?
(2)写出被调查学生每人植树量的众数、中位数；
(3)求被调查学生每人植树量的平均数,并估计这260名学生共植树多少棵？
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【题目】某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲商品的零售单价比乙商品的零售单价少1元；
信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）分别求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲、乙两种商品各500件，经调查发现，两种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售30件，乙种商品每天可多销售20件，商店决定把两种商品的零售单价均下降m（0＜m＜1）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品的销售额之和为2500元？
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【题目】下列说法：①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②两个无理数的和是无理数;③点
一定不在第四象限;④平方根等于本身的数是
或
;⑤若点
的坐标满足
,则点
落在原点上;⑥如果两个角的角平分线互为反向延长线,则这两个角为对顶角．正确个数是（ ）
A.
B.
C.D.
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【题目】阅读下列信息材料
信息1：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如、
、
等，而常用的“……”或者“
”的表示方法都不够百分百准确；
信息2：
的小数部分是
，可以看成
得来的：
信息3：任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，如
，是因为
：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）若
，则
的小数部分可以表示为_______；
（2）
也是夹在两个整数之间的，可以表示为
则
_______；
（3）若
，其中
是整数，且
，请求
的相反数．
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【题目】规定两数a、b之间的一种运算，记作（a，b）：如果
，那么（a，b）=c．
例如：因为
，所以（2，8）=3.
（1）根据上述规定，填空：
（5，125）= ，（-2，4）= ，（-2，-8）= ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：
，他给出了如下的证明：
设
，则
，即
∴
，即
，
∴．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由.
(4，5)＋(4，6)=(4，30)
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【题目】如图，线段AB，AC是两条绕点A可以自由旋转的线段（但点A，B，C始终不在同一条直线上），已知AB=5，AC=7，点D，E分别是AB，BC的中点，则四边形BEFD面积的最大值是______.
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