【题目】如图1,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.
(1)求证:ED=EC;
(2)求证:AF是⊙O的切线;
(3)如图2,若点G是△ACD的内心,BCBE=25,求BG的长.
【答案】(1)见解析; (2)见解析; (3)5
【解析】
(1)根据AB=AC,可得∠ABC=∠ACB,再根据∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,可得∠BCD=∠ADC,根据等角对等边即可证明ED=EC;
(2)连接OA,由垂径定理可得OA⊥BC,再通过角的和差关系可得∠CAF=∠ACB,即可证明AF∥BC,即OA⊥AF,即可证明AF为⊙O的切线;
(3)连接AG,通过证明△ABE∽△CBA,可得=
,从而求得AB=5,再根据点G为内心,可得∠DAG=∠GAC,再根据∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB,即可求出∠BAG=∠BGA,根据等角对等边即可求出BG=AB=5.
解:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
又∵∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,
∴∠BCD=∠ADC,
∴ED=EC;
(2)如图1,连接OA,
∵AB=AC,
∴,
∴OA⊥BC,
∵CA=CF,
∴∠CAF=∠CFA,
∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF,
∵∠ACB=∠BCD,
∴∠ACD=2∠ACB,
∴∠CAF=∠ACB,
∴AF∥BC,
∴OA⊥AF,
∴AF为⊙O的切线;
(3)如图2,连接AG,
∵∠ABE=∠CBA,∠BAD=∠BCD=∠ACB,
∴△ABE∽△CBA,
∴=
,
∴AB2=BCBE,
∵BCBE=25,
∴AB=5,
∴∠BAG=∠BAD+∠DAG,∠BGA=∠GAC+∠ACB,
∵点G为内心,
∴∠DAG=∠GAC,
又∵∠BAD+∠DAG=∠GAC+∠ACB,
∴∠BAG=∠BGA,
∴BG=AB=5.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线与
轴交于点
,与
轴交于点
,抛物线
经过点
.
(1)求满足的关系式及
的值;
(2)当时,求抛物线解析式,并直接写出当
时
的取值范围.
(3)当时,若
的函数值随
的增大而增大,求
的取值范围;
(4)如图,当时,在第二象限的抛物线上找点
,使
的面积最大,求出点
坐标.
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【题目】已知:如图△ABC内接于⊙O,OH⊥AC于H,过A点的切线与OC的延长线交于点D,∠B=30°,OH=5.请求出:
(1)∠AOC的度数;
(2)△OAC的面积;
(3)线段AD的长(结果保留根号).
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=52°,BE为AC边上的中线,AD平分∠BAC,交BC边于点D,过点B作BF⊥AD,垂足为F,则∠EBF的度数为( )
A.19°B.33°C.34°D.43°
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【题目】2020年的春节,对于我们来说,有些不一样,我们不能和小伙伴相约一起玩耍,不能去游乐场放飞自我,也不能和自己的兄弟姐妹一起吃美味的大餐,这么做,是因为我们每一个人都在面临一个眼睛看不到的敌人,它叫病毒,残酷的病毒会让人患上肺炎,人与人的接触会让这种疾病快速地传播开来,严重的还会有生命危险,目前我省已经启动突发公共卫生事件一级应急响应,但我们相信,只要大家一起努力,疫情终有会被战胜的一天.
在这个不能出门的悠长假期里,某小学随机对本校部分学生进行“假期中,我在家可以这么做!A.扎实学习、B.快乐游戏、C.经典阅读、D.分担劳动、E.乐享健康”的网络调查,并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图(若每一位同学只能选择一项),请根据图中的信息,回答下列问题.
(1)这次调查的总人数是 人;
(2)请补全条形统计图,并说明扇形统计图中E所对应的圆心角是 度;
(3)若学校共有学生的1700人,则选择C有多少人?
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【题目】某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
求出每天的销售利润
元
与销售单价
元
之间的函数关系式;
求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?
每天的总成本
每件的成本
每天的销售量
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【题目】如图,将放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点B,点C均落在格点上.
(I)计算的值等于____________;
(Ⅱ)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以AB为一边、面积等于的矩形,并简要说明画图方法(不要求证明)_____________.
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【题目】如图1,在菱形中,
,
.动点
从点
出发,沿
边以每秒1个单位长度的速度运动到点
时停止,连接
,点
与点
关于直线
对称,连接
,
,设运动时间为
(秒).
(1)菱形对角线
的长为 ;
(2)当点恰在
上时,求t的值;
(3)当时,求
的周长;
(4)直接写出在整个运动过程中,点运动的路径长.
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