Question

【题目】如图1，在菱形中，，.动点从点出发，沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点时停止，连接，点与点关于直线对称，连接，，设运动时间为（秒）.

（1）菱形对角线的长为 ；

（2）当点恰在上时，求t的值；

（3）当时，求的周长；

（4）直接写出在整个运动过程中，点运动的路径长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】

(1)连接BD,利用菱形的性质可得,即可利用特殊直角三角形边长比解出AC.

(2)利用条件证明,列出等式即可算出t的值.

(3)①当P是BC中点,作AE⊥BC,根据条件求出△AQP的周长即可求出△ABP的周长;②当P是CD中点,连接BD,利用等边三角形的性质求出周长即可.

(4)利用弧长公式求出即可.

解：（1）如图，连接交于，

∵菱形中，，，

∴，

∴，，

∴，

故答案为：；

（2）如图，菱形中，，

∴，

又∵是萎形的对角线，

∴，

∵点与点关于直线对称，

∴，

∴，，，

∴，，

即，

解得；

（3）当时，有两种情况：点是的中点；点是的中点.

①当点是的中点时，如图，过作于，

在中，,

∴，，

在中，，，

∴.

∴的周长的周长；

②当点是的中点时，如图，连接，则是等边三角形，

∴，

在中，，

与①同理，得，

∴的周长；

（4）由题可得，点运动路径为以点为圆心，6为半径，圆心角为的弧，

∴点运动的路径长为.